10.04.2026 Сурначев М.Д.
Доклад: «Градиентные оценки для p(x)-гармонических дифференциальных форм» Докладчик: Сурначёв Михаил Дмитриевич, д.ф.-м.н., с.н.с. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, совместная работа с Анной Балджы (Билефельд) и Swarnendu Sil (Бангалор, Индия) Аннотация: Рассматривается система d^* A(x,w)=d^*F, dw=0, где A(x,w)=(m^2 +|w|^2)^{(p(x)-2)/2}w, на компактном римановом многообразии (с краем). Здесь w дифференциальная форма (замкнутая в силу второго уравнения), d --- оператор внешнего дифференцирования, а d^* -- формально сопряжённый к нему (кодифференциал). Показатель p отделён от единицы и бесконечности, а также удовлетворяет логарифмическому условию В.В. Жикова. Для 1-формы w=du рассматриваемое уравнение есть уравнение p(x)-Лапласиана с правой частью дивергентного вида. Градиентные оценки (ограниченность градиента u и его непрерывность по Гёльдеру) для уравнений типа p-лапласиана с постоянным p были впервые получены Н.Н. Уральцевой в 60-х годах и освещены в известной монографии О.А. Ладыженской и Н.Н. Уральцевой по эллиптическим уравнениям. Для постоянных значений p и нулевой правой части это уравнение для форм произвольного порядка исследовалось K. Uhlenbeck (1977, p﹥2, внутренние оценки) и C. Hamburger (1991, p﹥1, оценки вплоть до границы). Градиентные оценки для p(x)-лапласиана (и систем подобного вида) были получены в конце 90-х начале 2000-х в работах В.В. Жикова, E. Acerbi, A. Coscia, G. Mingione и др. Нами изучаются как локальные свойства, так и поведение решения возле границы при (однородном) условии типа Дирихле или Неймана. Получены утверждения о повышенной суммируемости, оценки типа Морри. Основным результатом является следующий. Если правая часть F и показатель p=p(x) непрерывны по Гёльдеру, то и форма w также непрерывна по Гёльдеру.
Доклад: «Градиентные оценки для p(x)-гармонических дифференциальных форм» Докладчик: Сурначёв Михаил Дмитриевич, д.ф.-м.н., с.н.с. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, совместная работа с Анной Балджы (Билефельд) и Swarnendu Sil (Бангалор, Индия) Аннотация: Рассматривается система d^* A(x,w)=d^*F, dw=0, где A(x,w)=(m^2 +|w|^2)^{(p(x)-2)/2}w, на компактном римановом многообразии (с краем). Здесь w дифференциальная форма (замкнутая в силу второго уравнения), d --- оператор внешнего дифференцирования, а d^* -- формально сопряжённый к нему (кодифференциал). Показатель p отделён от единицы и бесконечности, а также удовлетворяет логарифмическому условию В.В. Жикова. Для 1-формы w=du рассматриваемое уравнение есть уравнение p(x)-Лапласиана с правой частью дивергентного вида. Градиентные оценки (ограниченность градиента u и его непрерывность по Гёльдеру) для уравнений типа p-лапласиана с постоянным p были впервые получены Н.Н. Уральцевой в 60-х годах и освещены в известной монографии О.А. Ладыженской и Н.Н. Уральцевой по эллиптическим уравнениям. Для постоянных значений p и нулевой правой части это уравнение для форм произвольного порядка исследовалось K. Uhlenbeck (1977, p﹥2, внутренние оценки) и C. Hamburger (1991, p﹥1, оценки вплоть до границы). Градиентные оценки для p(x)-лапласиана (и систем подобного вида) были получены в конце 90-х начале 2000-х в работах В.В. Жикова, E. Acerbi, A. Coscia, G. Mingione и др. Нами изучаются как локальные свойства, так и поведение решения возле границы при (однородном) условии типа Дирихле или Неймана. Получены утверждения о повышенной суммируемости, оценки типа Морри. Основным результатом является следующий. Если правая часть F и показатель p=p(x) непрерывны по Гёльдеру, то и форма w также непрерывна по Гёльдеру.